Олімпіади

            Завдання І етапу Всеукраїнської  учнівської олімпіади з математики

 для учнів 11 класу

1.	На нараду в міністерство для обговорення питань олімпіад запросили 30 Заслужених вчителів України з математики, фізики, хімії та біології. Серед запрошених фізиків та біологів разом виявилось удвічі менше ніж математиків, а фізиків та хіміків разом удвічі більше ніж біологів. Скільки на зустріч запросили математиків, якщо вчителів з кожного предмету була різна кількість?	7б
2.	На бічних сторонах АВ і ВС рівнобедреного трикутника АВС взято точки Е та F відповідно. Відрізки ЕС та FА перетинаються в точці О. Доведіть, що якщо площа чотирикутника ВЕОF дорівнює площі трикутника АСО, то АЕ = ВF.	7б
3.	Розв’яжіть рівняння: х4 + 10х3 – 125х – 54 = 0	7б
4.	Від даного трикутника трьома прямими, паралельними сторонам трикутника, відрізаються три трикутники так, що утворюється рівносторонній шестикутник. Знайдіть довжину сторони шестикутника, якщо довжини сторін трикутника рівні a.b таc.	7б

           Завдання І етапу Всеукраїнської  учнівської олімпіади з математики

 для учнів 10 класу

1.	Близнюки Петро та Остап посварилися і стали ходити з дому до школи різними шляхами. Петро  спочатку йде 210 метрів на південь, а далі 70 метрів на схід і потрапляє до школи. Остап спочатку йде певний час на північ, а далі по прямій до школи. Скільки саме метрів Остап йде на північ, якщо близнюки ходять з однаковою швидкістю і приходять до школи одночасно?	7б
2.	Розкладіть многочлен  х5+х +1 на множники на множині дійсних чисел.	7б
3.	Побудуйте графік  рівняння  та знайдіть   площу фігури, обмеженої лініями(х – 1)2 + (у – 1)2 = 1; у = 1; х = 0	7б
4.	Точки A, B, C, D — сусідні вершини правильного многокутника (саме у такій послідовності). Відомо, що ∠ACD = 1200 . Скільки сторін у цього многокутника?	7б

                 Завдання І етапу Всеукраїнської  учнівської олімпіади з математики

 для учнів 9 класу

1.	Сума трьох тризначних чисел aab, aba,baa дорівнює 1998. Знайдіть усі трійки таких чисел.	7б
2.	Сто мір хліба розділіть між п’ятьма людьми так, щоб другий отримав настільки більше за першого, наскільки третій одержить більше за другого, четвертий – більше за третього, а п’ятий – більше за четвертого. Причому,  двоє перших мають отримати в сім разів менше за трьох останніх. Скільки треба дати хліба кожному?	7б
3.	Не обчислюючи площі трикутників зі сторонами 5; 5; 6  і 5; 5; 8, встановіть чи можуть вони бути рівновеликими.	7б
4.	Два листоноші – А і В, яких розділяє відстань у 59 миль, виїжджають вранці назустріч один одному. Листоноша А проїжджає за 2 години 7 миль, а листоноша В – за 3 години 8 миль, при цьому B вирушає у дорогу годиною пізніше А. Скільки миль проїде листоноша В до зустрічі з листоношею А?	7б
5.	Деяке число збільшили на 25%. На скільки відсотків потрібно зменшити одержане число, щоб отримати початкове?	7б

Завдання І етапу Всеукраїнської  учнівської олімпіади з математики

 для учнів 8 класу

1.	Числа х і у додатні, причому х+у =5. Яке найменше значення може приймати вираз 1/х+1/у?	7б
2.	Напис на надгробку  видатного математика Діофанта в м. Ісковії був зроблений у формі задачі. Розв’яжи її, щоб  дізнатися скільки років прожив Діофант. Прах Діофанта гробниця ховає, вдивися – і камінь Мудрим мистецтвом розкриє покійного вік: З волі богів шосту частину життя був він дитина, А ще половину шостої – стрів із пушком на щоках. Тільки минула сьома, з коханою він одружився. З нею п’ять років проживши, сина діждався мудрець. Та півжиття свого тішився батько лиш сином. Рано могила дитину у батька забрала. Років двічі по два батько оплакував сина. А по роках цих і сам стрів він кінець свій печальний.	7б
3.	У трикутнику АВС бісектриса кута ВВ1ділить його на два рівнобедрені трикутники, причому АВ= ВВ1= СВ1 Знайдіть градусну міру кутів трикутника АСВ.	7б
4.	Сума трьох тризначних чисел aab, aba, baa дорівнює 1998. Знайдіть усі трійки таких чисел.	7б
5.	У ромбі ABCD проведено бісектрису ВМ кута АВD, яка утворює зі стороною ромба АD кут 120º. Знайдіть кути ромба.	7б